Università Cattolica del Sacro Cuore

La teoria strutturale della dimostrazione

Seminario  21 novembre 2017
Aula: Esercitazioni del Dipartimento di Filosofia -  Ore: 16.00
Largo A. Gemelli, 1, Milano

Teorema di normalizzazione e della sottoformula per il calcolo dei sequenti
Letture: Capitolo 2 del testo Mancosu, Galvan, Zach 2017

Professor Paolo MANCOSU
U.C. Berkeley

Il seminario esaminerà alcuni dei risultati fondamentali della teoria strutturale della dimostrazione che si originano nel lavoro di Gerhard Gentzen (1909-1945). Verso il 1920, David Hilbert aveva concepito la teoria della dimostrazione come uno studio delle dimostrazioni matematiche, presentate in appositi sistemi formalizzati. Attraverso lo studio delle dimostrazioni formalizzate Hilbert ambiva a mostrare, con considerazioni epistemologicamente sicure (concezione finitista), che i sistemi che formalizzavano la matematica ordinaria non potevano generare dimostrazioni che terminassero con una contraddizione (ad esempio l’enunciato ‘0=1’). Fu però Gentzen che, pur lavorando all’interno del programma hilbertiano, trasformò la teoria della dimostrazione da una disciplina focalizzata sulla nozione di derivabilità (relazione base per dimostrare che dagli assiomi non si può derivare ‘0=1’) ad uno studio delle proprietà strutturali delle dimostrazioni (che vanno ben al di là della semplice relazione di derivabilità tra assiomi e conclusioni). I risultati di Gentzen costituiscono ancora oggi il punto di partenza per la teoria della dimostrazione sia strutturale che ordinale (nel seminario non discuteremo la teoria ordinale della dimostrazione). Cominceremo discutendo il calcolo assiomatico alla Hilbert ed il teorema di deduzione. Passeremo poi al calcolo della deduzione naturale con il teorema di normalizzazione e della sottoformula. Infine studieremo il calcolo dei sequenti con il teorema del taglio e delle suo applicazioni (sottoformula, sequente mediano etc.). Il seminario è rivolto in particolare agli studenti di filosofia. Attraverso lo studio di questo materiale lo studente di filosofia acquisirà gli strumenti per affrontare dibattiti centrali in filosofia della matematica (programma di Hilbert e prospettive per una sua versione relativizzata) ed in filosofia della logica e filosofia del linguaggio (significato delle costanti logiche; proof-theoretic semantics; il dibattito realismo/anti-realismo, il programma di Dummett). È requisito minimale un corso introduttivo di logica proposizionale e predicativa. È inoltre necessario avere una certa facilità col ragionamento simbolico/matematico ma non si richiedono conoscenze matematiche specifiche.

Il seminario si svolgerà in cinque incontri di due ore ciascuno. Il testo e gli handouts saranno in inglese.



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